Question

在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)閤正半軸方向，利用相同單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C₂的參數(shù)方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程以及曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P為曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C₁的切線，求這條切線長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，再由代入法，即可化簡(jiǎn)曲線C₂的參數(shù)方程為普通方程；
（Ⅱ）可經(jīng)過(guò)圓心（1，-2）作直線3x+4y-15=0的垂線，此時(shí)切線長(zhǎng)最�。�再由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)于曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化為直角坐標(biāo)方程x²+y²-2x+4y+4=0，
即圓（x-1）²+（y+2）²=1；
曲線C₂的參數(shù)方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數(shù)），
可化為普通方程為：3x+4y-15=0．
（Ⅱ）可經(jīng)過(guò)圓心（1，-2）作直線3x+4y-15=0的垂線，此時(shí)切線長(zhǎng)最�。�
則由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，
則切線長(zhǎng)為

16-1

=

15

．
故這條切線長(zhǎng)的最小值為

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程、普通方程的互化，考查直線與圓相切的切線長(zhǎng)問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．