Question

棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為DD₁的中點，O₁、O₂、O₃分別為平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心．
（1）求PO₂的長．
（2）求證：B₁O₃⊥PA；
（3）求異面直線PO₃與O₁O₂所成的角．

Answer 1

【答案】分析：以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，寫出各點的坐標．
（1）由模的公式得PO₂的長．
（2）分別寫出兩條直線所在的向量，再根據(jù)可得B₁O₃⊥PA．
（3）寫出兩條直線所在的向量，再利用向量的運算關系求出兩個向量的夾角，進而轉化為兩條直線的夾角．
解答：解：以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則…（2分）
則有B₁（1，1，1，），O₃（，0），P（0，0，），A（1，0，0），O₁（，1），O₂（），
于是，…（4分）
（1）由模的公式得：，
即PO₂的長為…（6分）
（2）證明：因為，
所以，即B₁O₃⊥PA．
（3）因為O₁（，1），O₂（），
所以，，…（9分）
所以cos==…（11分）
∴異面直線PO3與O1O3所成角的大小arccos．…（12分）
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征進而距離空間直角坐標系，再利用向量之間的運算關系求線段的長度，以及證明線線垂直與求異面直線的夾角等問題．