Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（）的部分圖象
如圖所示，其中與x軸有交點 （-2，0）、（6，0），圖象有一個最高點（2，）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值為c且C=60°，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

（1）解：由函數(shù)的圖象可得A=，ω===，∴f（x）=sin（x+?）．
∵函數(shù)圖象有一個最高點（2，），
∴×2+?=，∴?=，∴f（x）=sin（x+）．
（2）在△ABC中，f（x）=sin（x+），且 x∈[4，12]，∴≤x+≤，
故f（x）在x∈[4，12]上的最大值為c=1，
∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為 =．
由余弦定理求得 cosC==cos60°= 可得 ab=a²+b²-1，
利用基本不等式可得ab=a²+b²-1≥2ab-1，∴ab≤1，
∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為 ≤．
故當且僅當 a=b=1時，△ABC的面積的最大值為 ．
分析：（1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）在△ABC中，由正弦函數(shù)的定義域和值域求得△ABC的面積的最大值為 ．利用基本不等式可得ab 的最大值為1，從而求得，△ABC的面積的最大值．
點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．