Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=

π

6

處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)圖象確定A，ω 和φ的值即可求函數(shù)的解析式；
（2）利用三角函數(shù)的B倍角公式公式進行化簡即可．

解答： 解：（1）由題設(shè)條件知f（x）的周期T=π，即

2π

ω

=π，
解得ω=2．
因為f（x）在x=

π

6

處取得最大值2，所以A=2，
從而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
又由-π＜φ≤π，得φ=

π

6

．
故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）g（x）=

6cos4x-sin2x-1

2sin(2x+ π 2 )

=

6cos4x+cos2x-2

2cos2x

=

(2cos2x-1)(3cos2x+2)

2(2cos2x-1)

=

3

2

cos²x+1（cos²x≠

1

2

）．
因cos²x∈[0，1]，且cos²≠

1

2

．
故g（x）的值域為[1，

7

4

）∪（

7

4

，

5

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，根據(jù)圖象確定A，ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．