Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1處有極值．
（1）求實(shí)數(shù)a值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對(duì)任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處有極值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
（2）把a(bǔ)的值代入到f（x）中，求出導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)x的值，在函數(shù)的自變量的范圍中令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（3）根據(jù)1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]時(shí)，f（x）_min=f（e-1），讓m²+tm+e²-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化簡(jiǎn)后令g（t）=m²+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，解出解集求出m的范圍即可．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′(x)=

a

x+1

+2x+2．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，a=-8．
經(jīng)檢驗(yàn)a=-8時(shí)，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
所以a=-8．

（2）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，f′(x)=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
而函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：

由表可知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．

（3）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]時(shí)，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對(duì)任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+mt-6，?g（-1）≤0，g（1）≤0?

m2+m-6≤0 m2-m-6≤0

，
解得-2≤m≤2為所求．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．