Question

已知曲線C的參數(shù)方程是

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4．
（1）試求曲線C上任意點M到直線l的距離的最大值；
（2）設(shè)P是l上一點，射線OP交曲線C與R點，又點Q在射線OP上，且滿足|OP|•|OQ|=|OR|²，當點P在直線l上移動時，試求動點Q的軌跡．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)曲線C上任意點M的坐標為（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），由直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直線l的普通方程為x+y-4=0，利用點到直線的距離公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）設(shè)射線OP的極坐標方程為θ=a（a∈R），依題意可知，動點Q的極坐標為（ρ，a），R（1，a），P（ρ，a），由|OP|•|OQ|=|OR|²，可得ρ_P•ρ=1．點P（ρ_P，a）在直線l上，可得ρ_P（cosa+sina）=4，再化為直角坐標即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)曲線C上任意點M的坐標為（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），
由直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直線l的普通方程為x+y-4=0，
點M到l的距離為d=

|cosφ+sinφ|

2

=

| 2 sin(φ+ π 4 )-4|

2

．
∵0≤φ＜2π，∴

π

4

≤φ+

π

4

＜

9π

4

，
∴-

2

-4≤

2

sin(φ+

π

4

)-4≤

2

-4，
當φ+

π

4

=

3π

2

，即φ=

5π

4

時，dmax=

2 +4

2

=2

2

+1．
（Ⅱ）設(shè)射線OP的極坐標方程為θ=a（a∈R），
依題意可知，動點Q的極坐標為（ρ，a），R（1，a），P（ρ，a），由|OP|•|OQ|=|OR|²，可得ρ_P•ρ=1．
點P（ρ_P，a）在直線l上，∴ρ_P（cosa+sina）=4，
cosa+sina≠0，∴ρP=

4

cosa+sina

，
將其代入（1）得

4

cosa+sina

•ρ=1，即4ρ=cosa+sina，
由x=ρcosa，y=ρsina，∴4（x²+y²）=x+y，其中xy≠0．
因此所求動點Q的軌跡是以(

1

8

，

1

8

)為圓心，

2

8

為半徑的圓除原點后的部分．

點評：本題考查了極坐標化為直角坐標、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、直線與圓的方程，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．