Question

【題目】定義函數(shù)f（x）＝（1﹣x2）（x2+bx+c）．

（1）如果f（x）的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，求2b+c的值；

（2）若x∈[﹣1，1]，記|f（x）|的最大值為M（b，c），當(dāng)b、c變化時(shí)，求M（b，c）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）-1（2）．

【解析】

(1)由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則將的圖象向左移動(dòng)個(gè)單位,得到函數(shù)為偶函數(shù),化簡(jiǎn),由偶函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論.

(2) 由任意記的最大值為

取,得，

化簡(jiǎn)可得,只需要,即可求出的最小值.

．

（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則將f（x）的圖象向左移動(dòng)2個(gè)單位，得到函數(shù)，

g（x）＝f（x+2）＝[1﹣（x+2）2][（x+2）2+b（x+2）+c]＝﹣x4﹣（8+b）x3﹣（19+4b）x2﹣（28+11b+4c）x﹣（12+6b+3c）為偶函數(shù)，

∴解得，

∴2b+c＝﹣1；

（2）對(duì)任意的x∈[﹣1，1]，|f（x）|≤M（b，c），

取x＝±λ得，

同理取x＝0得，|c|≤M（b，c），

由上述三式得：2|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤2M（b，c），

∴|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤M（b，c），

∴|（1﹣λ2）λ2|≤|（1﹣λ2）（λ2+c）|+|（1﹣λ2）|c||≤（2﹣λ2）M（b，c），

因此，M（b，c）（當(dāng)且僅當(dāng)λ2＝2時(shí)，取得最大值），此時(shí)b＝0，c，

經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意．

故當(dāng)b＝0，c時(shí)，M（b，c）取得最小值，且最小值為．