Question

對一切的x∈（0，+∞），3x²+2ax-2xlnx+1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

∵x＞0，∴3x²+2ax-2xlnx+1≥0可化為a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立．（3分）
令h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=-

(x-1)(3x+1)

2x2

  （6分）
令h′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴x=1時(shí)，h（x）取得最大值-2，（  10分）
∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．       （12分）