Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2，若?x∈(

1

e2

，e)，都有g(shù)（x）≤m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值，由直線方程的點(diǎn)斜式得f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式得到g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，由x的范圍把問題轉(zhuǎn)化為證明g（x）_max≤m，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定義域（0，+∞），
f'（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x，
∴f'（1）=-3，
又f（1）=1，
則f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y-4=0；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）_max≤m，
g'（x）=（x-1）•（3+2lnx），
令g'（x）=0，得x=1或x=e-

3

2

．
又∵e^-2＜x＜e，
∴函數(shù)g（x）在(e-2，e-

3

2

)上單調(diào)遞增，在(e-

3

2

，1)上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增．
又g(e-

3

2

)=-

1

2

e-3+2e-

3

2

，g（e）=2e²-3e，
∵g(e-

3

2

)=-

1

2

e-3+2e-

3

2

＜2e-

3

2

＜2e＜2e(e-

3

2

)=g(e)，
即g(e-

3

2

)＜g(e)g(x)max=g(e)=2e2-3e，
∴m≥2e²-3e．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．