Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為4，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且經(jīng)過點(diǎn)（-3，2$\sqrt{6}$）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若P為雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF₁||PF₂|=8，求△PF₁F₂的周長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a²+b²=4，代入點(diǎn)（-3，2$\sqrt{6}$），得到a，b的方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）運(yùn)用雙曲線的定義，結(jié)合條件，可得|PF₁|+|PF₂|=6，再由三角形的周長，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得c=2，a²+b²=4，
代入點(diǎn)（-3，2$\sqrt{6}$），可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{24}{^{2}}$=1，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）又雙曲線的定義可得，||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
又|PF₁|•|PF₂|=8，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=（|PF₁|-|PF₂|）²+4|PF₁|•|PF₂|
=4+32=36，
即有|PF₁|+|PF₂|=6，
則△PF₁F₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6+4=10．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用代入法，考查三角形的周長的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．