Question

如圖，已知點A（1，

2

）是離心率為

2

2

的橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，斜率為

2

的直線BD交橢圓C于B，D兩點，且A、B、D三點互不重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)點A（1，

2

）是離心率為

2

2

的橢圓C上的一點，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為y=

2

x+m，代入橢圓方程，設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，則k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

，由此能導(dǎo)出即k_AD+k_AB=0．

解答： 解：（1）由題意，可得e=

c

a

=

2

2

，
代入A（1，

2

）得

2

a2

+

1

b2

=1，
又a²=b²+c²，…（2分）
解得a=2，b=c=

2

，
所以橢圓C的方程

y2

4

+

x2

2

=1．…（5分）
（2）證明：設(shè)直線BD的方程為y=

2

x+m，
又A、B、D三點不重合，∴m≠0，
設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y= 2 x+m 2x2+y2=4

得4x²+2

2

mx+m²-4=0
所以△=-8m²+64＞0，
所以-2

2

＜m＜2

2

．
x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=-

m2-4

4

…（8分）
設(shè)直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，
則k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

=2

2

+m•

x1+x2-2

x1x2-x1-x2+1

=2

2

+m•

- 2 2 m-2

m2-4 4 + 2 2 m+1

=2

2

-2

2

=0 （*）     
所以k_AD+k_AB=0，即直線AB，AD的斜率之和為定值．…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．