Question

9．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A的直線l交橢圓于另一點(diǎn)B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$-\frac{8}{5}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x+2），代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到k，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）A（-2，0），設(shè)直線l：y=k（x+2），
代入橢圓方程可得，（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
則-2+x_B=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$-\frac{8}{5}$，可得-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{16}{5}$，
解得k=±1，
檢驗(yàn)判別式（16k²）²-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0，成立．
則有直線l的方程為y=x+2或y=-x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．