Question

19．已知數(shù)列{a_n}，對于任意的正整數(shù)n，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;（1≤n≤2016）\\-2•{（\frac{1}{3}）^{n-2016}}.\;（n≥2017）\end{array}\right.$，設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和．下列關(guān)于$\underset{lim}{n→∞}$S_n的結(jié)論，正確的是（　�。�

• A． $\lim_{n→+∞}{S_n}=-1$
• B． $\lim_{n→+∞}{S_n}=2015$
• C． $\lim_{n→+∞}{S_n}=\left\{\begin{array}{l}2016，（1≤n≤2016）\\-1．（n≥2017）\end{array}\right.$（n∈N*）
• D． 以上結(jié)論都不對

Answer 1

分析 推導(dǎo)出S_n=2015-（$\frac{1}{3}$）^n-2016，由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$S_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，對于任意的正整數(shù)n，
${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;（1≤n≤2016）\\-2•{（\frac{1}{3}）^{n-2016}}.\;（n≥2017）\end{array}\right.$，設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和．
∴a₁=a₂=a₃=…=a₂₀₁₆=1，
${a}_{2017}=-\frac{2}{3}$，${a}_{2018}=-\frac{2}{9}$，${a}_{2019}=-\frac{2}{27}$，…，
∴S_n=2016+$\frac{-\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-2016}]}{1-\frac{1}{3}}$=2016-1+（$\frac{1}{3}$）^n-2016=2015+（$\frac{1}{3}$）^n-2016，
$\underset{lim}{n→∞}$S_n[2015+（$\frac{1}{3}$）^n-2016]=2015．
故選：B．

點評 本題考查數(shù)列的極限的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．