Question

9．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期和遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的零點x₁、x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）通過二倍角公式及平方關(guān)系化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R），進而可得結(jié)論；
（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，通過對稱性可知x₁與x₂關(guān)于直線x=$\frac{3π}{8}$對稱，從而$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3π}{8}$，進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x
=1+2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R），
∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）的周遞增區(qū)間由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
化簡得：kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$（k∈Z），即[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．
（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m；
在直角坐標系中畫出函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象，
由圖象可知，當且僅當m∈[1，$\sqrt{2}$）時，
方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上的區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$）和（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]有兩個不同的解x₁、x₂，
且x₁與x₂關(guān)于直線x=$\frac{3π}{8}$對稱，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3π}{8}$，
∴x₁+x₂=$\frac{3π}{4}$，
故tan（x₁+x₂）=tan$\frac{3π}{4}$=-1．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．