Question

16．已知F₁是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，E是雙曲線的右頂點(diǎn)，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，2）
• C． （2，+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性及∠AEB是鈍角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到關(guān)于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．

解答 解：∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF，
∵△ABE是鈍角三角形，∴∠AEB是鈍角，
∴AF＞EF，
∵F為右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，
∴AF=$\frac{^{2}}{a}$，
∵EF=a+c，
∴$\frac{^{2}}{a}$＞a+c，即e²-e-2＞0，
解得e＞2或e＜-1，
雙曲線的離心率的范圍是（2，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數(shù)a，b，c的關(guān)系．