Question

如圖，已知橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準(zhǔn)線，N為l上一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）設(shè)過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，當(dāng)線段PQ的中點坐標(biāo)為（0，9）時，求這個圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)統(tǒng)一可知直線l的方程，設(shè)N（8，t）（t＞0），因為AM=MN，所以M（2，

t

2

），由M在橢圓上，得t=6．可求出點M的坐標(biāo)，求出向量

MA

，

MB

，然后利用向量的夾角公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，F(xiàn)，N三點坐標(biāo)代入，即可求出圓的方程，令x=0，得y2-(t+

72

t

)y-8=0，最后根據(jù)線段PQ的中點坐標(biāo)為（0，9），t+

72

t

=18求出t，從而求出圓的方程．

解答：解：（1）由已知，A（-4，0），B（4，0），F(xiàn)（2，0），直線l的方程為x=8．
設(shè)N（8，t）（t＞0），因為AM=MN，所以M（2，

t

2

）．
由M在橢圓上，得t=6．故所求的點M的坐標(biāo)為M（2，3）．（4分）
所以

MA

=(-6，-3)，

MB

=(2，-3)，

MA

•

MB

=-12+9=-3．cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

-3

36+9 • 4+9

=-

65

65

．（7分）
（2）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，F(xiàn)，N三點坐標(biāo)代入，
得

16-4D+F=0 4+2D+F=0 64+t2+8D+Et+F=0

?

D=2 E=-t- 72 t F=-8.

∵圓方程為x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，令x=0，得y2-(t+

72

t

)y-8=0．（11分）
設(shè)P（0，y₁），Q（0，y₂），則y1、2=

t+ 72 t ± (t+ 72 t )2+32

2

．
由線段PQ的中點坐標(biāo)為（0，9），得y₁+y₂=18，t+

72

t

=18．
此時所求圓的方程為x²+y²+2x-18y-8=0．（15分）

點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及利用向量法求夾角，同時考查了圓的方程，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．