Question

（2008•普陀區(qū)二模）已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是以10為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是以

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為首項(xiàng)，以

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為公比的等比數(shù)列（m≥3，m∈N^*）；并且對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，請(qǐng)依次寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前12項(xiàng)；
（2）若a₂₃=-2，試求m的值；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，問(wèn)是否存在m的值，使得S_128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式岙a(chǎn)_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12．由 對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列，周期為2m．當(dāng)m=3時(shí)，先求出數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)，再由周期為6寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的第7至12項(xiàng)．
（2）由題意知，a₂₃=-2是等差數(shù)列中的項(xiàng)，求出項(xiàng)數(shù)n，據(jù)a_n+2m=a_n成立知，數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m，由n+2m=n解出m的值．
（3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6．知S128m+3=704m-64m2+88-64•(

1

2

)m≥2008，設(shè)f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

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2

)m，g（m）＞1920；f（m）=-64（m²-11m），在m=5或6時(shí)取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在這樣的m．

解答：解：（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比數(shù)列通項(xiàng)公式：a_m+n=

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2

•(

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)m+n-1=(

1

2

)m+n，
∵對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．
∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m．
當(dāng)m=3時(shí)，a₁=-2×1+12=10，
a₂=-2×2+12=8，
a₃=-2×3+12=6，
a₄=-2×4+12=4，
a₅=-2×5+12=2，
a₆=-2×6+12=0，
a₇=a₁=10，
a₈=a₂=8，
a₉=a₃=6，
a₁₀=a₄=4，
a₁₁=a₅=2，
a₁₂=a₆=0．
（2）由題意知，a₂₃=-2是等差數(shù)列中的項(xiàng)，在等差數(shù)列中，
令-2n+12=-2，n=7，
對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立，a₂₃=-2，
∴7+2m=23，
∴m=8．
（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6 S128m+3=704m-64m2+88-64•(

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)m≥2008
704m-64m2≥2008-88+64•(

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2

)m，
設(shè)f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

1

2

)m
g（m）＞1920；
f（m）=-64（m²-11m），對(duì)稱軸 m=

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2

∉N*，
所以f（m）在m=5或6時(shí)取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
所以不存在這樣的m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列概念，數(shù)列表示法及等比數(shù)列性質(zhì)和數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．