Question

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是

a2+b2

的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(

2

，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為

3

．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求

AB

•

AD

的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓和其“準圓”的標準方程及其定義即可得出；
（2）先設出點B、D的坐標并求出點A的坐標，利用向量的數(shù)量積得出

AD

•

AB

，再利用點B在橢圓上即可得出其取值范圍；
（3）通過分類討論，假設在橢圓C的“準圓”上任取一點P作直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關系求出直線是否滿足兩條直線垂直的條件即可．

解答：解：（1）由題意可得：a=

3

，c=

2

，b=1，∴r=

( 3 )2+12

=2．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，其“準圓”的方程為x²+y²=4；
（2）由“準圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取點A（2，0）．
設點B（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀）．
∴

AB

•

AD

=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵點B在橢圓

x2

3

+y2=1上，∴

x02

3

+y02=1，∴y02=1-

x02

3

，
∴

AD

•

AB

=(x0-2)2-1+

x02

3

=

4

3

(x0-

3

2

)2，
∵-

3

＜x0＜

3

，∴0≤

4

3

(x0-

3

2

)2＜7+4

3

，
∴0≤

AD

•

AB

＜7+4

3

，即

AD

•

AB

的取值范圍為[0，7+4

3

)
（3）①當過準圓上點P的直線l與橢圓相切且其中一條直線的斜率為0而另一條斜率不存在時，則點P為(±

3

，±1)，此時l₁⊥l₂；
②當過準圓上的點P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時，設點P（x₀，y₀），直線l的方程為m（y-y₀）=x-x₀．
聯(lián)立

m(y-y0)=x-x0 x2 3 +y2=1

消去x得到關于y的一元二次方程：
(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，
∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，
化為(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，
∵y02-1≠0，m存在，∴m₁m₂=

x02-3

y02-1

．
∵點P在準圓上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，
∴m₁m₂═-1．
即直線l₁，l₂的斜率kl1•kl2=-1，因此當過準圓上的點P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時，直線l₁⊥l₂．
綜上可知：在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，l₁⊥l₂．

點評：熟練掌握橢圓和圓的標準方程及其定義、向量的數(shù)量積、直線與橢圓相切問題時聯(lián)立直線與橢圓的方程得出根與系數(shù)的關系、兩條直線垂直的條件是解題的關鍵．