Question

已知復(fù)數(shù)滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數(shù)單位），z=

5

w

+|w-2|，求復(fù)數(shù)w、z并且寫一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的表示式，整理出關(guān)于w和z的表示式，做兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算和模長的運(yùn)算，得到兩個(gè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=3+i，則必有共軛虛根

.

z

=3-i，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出方程．

解答：解：∵w（1+2i）=4+3i，
∴w=

4+3i

1+2i

=2-i，
∴z=

5

2-i

+|-i|=3+i．
若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=3+i，
則必有共軛虛根

.

Z

=3-i，
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x²-6x+10=0．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模長運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)綜合題，也是一個(gè)易錯(cuò)題．