Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+8）²+（y+6）²=25和圓C₂：（x-4）²+（y-6）²=25．
（1）若直線1過(guò)原點(diǎn)，且被C₂截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程；
（2）是否存在點(diǎn)P滿足：過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和1₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（2）與（1）相同，我們可以設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線l₁與l₂的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l₁與l₂的方程．

解答 解：（1）直線1被C₂截得的弦長(zhǎng)為6，∴圓心到直線的距離為4，．
直線l的斜率不存在，滿足題意，方程為x=0；
∴直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=kx，
圓C₂的圓心到直線l的距離為d=$\frac{|4k-6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4
∴k=$\frac{5}{6}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{5}{6}$x．
∴直線l的方程為：x=0或y=$\frac{5}{6}$x；
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即$\frac{|-6-b-k（-8-a）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|6-b+\frac{1}{k}（4-a）|}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$
整理得|-6-b+8k+ka|=|6k-bk+4-a|
∴-6-b+8k+ka=±（6k-bk+4-a）即（a+b+2）k=b-a+10或（a-b+14）k=a+b+2
因k的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{b-a+10=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+14=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$
解得a=4，b=-6或a=-8，b=6
這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P₁（4，-6）或點(diǎn)P₂（-8，6）
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件．

點(diǎn)評(píng) 在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．本題所用方法就是第三種方法．