Question

如圖所示，一輛載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛（北偏東α角），其中，在距離O地5a km（a為正數(shù)）北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中．現(xiàn)110指揮部緊急征調(diào)離O地正東p km的B處的救護(hù)車趕往N處載上醫(yī)學(xué)專家全速追趕載有重危病人的火車，并在C處相遇，經(jīng)測算當(dāng)輛車行駛路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，搶救最及時(shí)．
（1）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)p為何值時(shí)，搶救最及時(shí)？

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
∵，∴，，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3a，4a）．
又射線OA的方程為y=3x，
又B（p，0），∴直線BN的方程為
∴．…
當(dāng)p=3a時(shí)，C（3a，9a），．
當(dāng)p≠3a時(shí)，方程組，解為

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
∴．對p=3a也成立．
∴．…
（2）由（1）得．
令，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)，上式取等號，∴當(dāng)Km時(shí)，S有最小值，即搶救最及時(shí)．…
分析：（1）由已知中射線OA行駛（北偏東α角），其中，在距離O地5a km（a為正數(shù)）北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中．我們可能建立直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系；
（2）p為何值時(shí)，搶救最及時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，利用基本不等式，可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到答案．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，將題目中的相關(guān)直線、點(diǎn)的方程或坐標(biāo)具體化，進(jìn)而擬合出函數(shù)模型．