Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，區(qū)間， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

（ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值分別為和，

求證： .

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間，（2）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（2）（�。�函數(shù) 在區(qū)間D上有兩個(gè)極值，等價(jià)于 在 上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令 ，得 ，通過(guò)求導(dǎo)分析得 的范圍為；（ⅱ） ，得，由分式恒等變換得，得，要證明 ，只需證 ，即證，

令 ， ，通過(guò)求導(dǎo)得到 恒成立，得證。

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)， ，

所以

若 ，則 所以的單調(diào)區(qū)增區(qū)間為

若則所以的單調(diào)區(qū)增區(qū)間為

（2）（�。�因?yàn)?/span> ，

所以 ， ，

若函數(shù) 在區(qū)間D上有兩個(gè)極值，等價(jià)于 在 上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

令 ，得 ，

設(shè) ，令

		大于0	0	小于0
	0	增		減

所以 的范圍為

（ⅱ）由（�。�知，若函數(shù)在區(qū)間D上有兩個(gè)極值分別為 和，不妨設(shè) ，則 ，

所以

即 ，

要證 ，只需證 ，即證，

令 ，即證 ，即證 ，

令 ，因?yàn)?/span> ，

所以 在上單調(diào)增， ，所以 ，

即 所以 ，得證。