Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：F（x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)y=F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）成中心對(duì)稱(chēng)圖形．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）
=f（x₁）-f（a-x₁）-[f（x₂）-f（a-x₂）]．
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]．
∵x₁＜x₂，∴-x₁＞-x₂，∴a-x₁＞a-x₂，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，∴f（x₁）＜f（x₂），f（a-x₂）＜f（a-x₁）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（a-x₂）-f（a-x₁）＜0．
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]＜0．
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函數(shù)．
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為函數(shù)y=F（x）的圖象上任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N（m，n），
則

a

2

=

x0+m

2

，0=

y0+n

2

，，∴m=a-x₀，n=-y₀，
∵把m=a-x₀代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x₀）-f（a-a+x₀）=f（a-x₀）-f（x₀）=-y₀=n
即點(diǎn)N（m，n）在函數(shù)F（x）的圖象上．
∴函數(shù)y=F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）成中心對(duì)稱(chēng)圖形．