Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）
（1）證明：函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定義域R上為增函數(shù)；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+2^x-2^-x滿足g（3a-1）+g（a-3）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定義域R上為增函數(shù)；
（2）令函數(shù)h（x）=2^x-2^-x，可得函數(shù)h（x）也為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可得g（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化不不等式g（3a-1）+g（a-3）＞0為整式不等式，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），
∴f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，t=$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$為增函數(shù)，y=lnt為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）也為增函數(shù)，
再由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，
可得當(dāng)x≤0時，函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）也為增函數(shù)，
綜上可得：函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定義域R上為增函數(shù)；
（2）令函數(shù)h（x）=2^x-2^-x，
則h（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-h（x），
故函數(shù)h（x）也為奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，t=2^x為增函數(shù)，s=2^-x為減函數(shù)，
故h（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
再由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，
可得當(dāng)x≤0時，函數(shù)h（x）=2^x-2^-x也為增函數(shù)，
又由函數(shù)g（x）=f（x）+2^x-2^-x，
故函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，
若g（3a-1）+g（a-3）＞0，
則g（3a-1）＞-g（a-3），
即g（3a-1）＞g（3-a），
即3a-1＞3-a，
解得：a＞1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．