Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），且

p

∥

q

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求函數f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量共線（平行）的坐標表示,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）根據平面向量平行時滿足的條件得到一個關系式，根據正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡后，即可得到cosA的值，根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（II）將三角函數式用二倍角的余弦公式結合“切化弦”，化簡整理得 

2

sin（2C-

π

4

），再根據A=

π

3

算出C的范圍，得到sin（2C-

π

4

）的取值范圍，最終得到原三角函數式的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），

p

∥

q

，∴（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（II）1-

2cos2C

1+tanC

=1-

2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵A=

π

3

，得C∈（0，

2π

3

），
∴2C-

π

4

∈（-

π

4

，

13π

12

），可得-

2

2

＜sin（2C-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（2C-

π

4

）≤

2

，
即三角函數式f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的取值范圍是（-1，

2

]．

點評：本題給出向量平行，通過列式化簡求A的大小，并求關于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡、正弦定理和誘導公式等知識，屬于中檔題．