Question

P為圓A：（x+1）²+y²=8上的動點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0）．線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為Γ．
（I）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且cos∠BAP=

2 2

3

時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2

2

，故曲線Γ是以A，B為焦點(diǎn)，以2

2

為長軸長的橢圓，從而可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且cos∠BAP=

2 2

3

時，求出P的坐標(biāo)，可得直線AP方程，代入橢圓方程，消去y，可得5x²+2x-7=0，即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）圓A的圓心為A（-1，0），半徑等于2

2

．
由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2

2

，
故曲線Γ是以A，B為焦點(diǎn)，以2

2

為長軸長的橢圓，a=

2

，c=1，b=1，
曲線Γ的方程為

x2

2

+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）由點(diǎn)P在第一象限，cos∠BAP=

2 2

3

，|AP|=2

2

，得P（

5

3

，

2 2

3

）．…（8分）
于是直線AP方程為y=

2

4

（x+1）．
代入橢圓方程，消去y，可得5x²+2x-7=0，
所以x₁=1，x₂=-

7

5

．
由于點(diǎn)M在線段AP上，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，

2

2

）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程與定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．