Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦長(zhǎng)AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）．因?yàn)镃M⊥l，則有k_CM•k_l=-1，表示出直線l的方程，從而求得圓心到直線的距離，再由：d2+(

l

2

)2=r2求解．

解答：解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+2）²=9，假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=

b+2

a-1

×1=-1
∴b=-a-1
∴直線l的方程為y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|²=（

|1+2-2a-1|

2

）²=2（1-a）²
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或

3

2

，
當(dāng)a=

3

2

時(shí)，b=-

5

2

，此時(shí)直線l的方程為x-y-4=0
當(dāng)a=-1時(shí)，b=0，此時(shí)直線l的方程為x-y+1=0
故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0或x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系其其方程的應(yīng)用，本題是一道探究題，出題新穎，體現(xiàn)知識(shí)的靈活運(yùn)用．