Question

7．已知數(shù)列{a_n} 中．a(chǎn)₁=2，且a_n=2a_n-1-n+2（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃并證明{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知的數(shù)列遞推式中分別取n=2，3，結(jié)合已知的首項即可求得a₂，a₃的值，再把遞推式兩邊同時減n即可證明{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由{a_n-n}是等比數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，分組后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1-n+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，得
a₂=2a₁-2+2=4，a₃=2a₂-3+2=2×4-3+2=7．
再由a_n=2a_n-1-n+2，得a_n-n=2a_n-1-2n+2，即a_n-n=2[a_n-1-（n-1）]，
∵$\frac{{a}_{n}-n}{{a}_{n-1}-（n-1）}=2$（n≥2，n∈N^*），
∴{a_n-n}是以2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${a}_{n}-n=（{a}_{1}-1）•{2}^{n-1}$，即${a}_{n}={2}^{n-1}+n$，
∴$_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
設${c}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$，且其前n項和為T_n，
∴$Tn=\frac{1}{{2}^{0}}$$+\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n-1}}$①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}…+\frac{n}{{2}^{n}}$②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=1+（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）-\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n}}=2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$，
則${S}_{n}=n+4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．