Question

【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù)，都有，且，則稱函數(shù)為“L函數(shù)”．

（1）試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”；

（2）若函數(shù)為“L函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)為“L函數(shù)”，且，求證：對任意，都有．

Answer 1

【答案】（1）是“L函數(shù)”. 不是“L函數(shù)”.（2）（3）見解析

【解析】（1）對于函數(shù)，當時，，

又，所以，

故是“L函數(shù)”.

對于函數(shù)，當時，，

故不是“L函數(shù)”.

（2）當時，由是“L函數(shù)”，

可知，即對一切正數(shù)恒成立，

又，可得對一切正數(shù)恒成立，所以．

由，可得，

故，又，故，

由對一切正數(shù)恒成立，可得，即．

綜上可知，a的取值范圍是．

（3）由函數(shù)為“L函數(shù)”， 可知對于任意正數(shù)，

都有，且，

令，可知，即，

故對于正整數(shù)k與正數(shù)，都有

，

對任意，可得，又，

所以，

同理，

故 ．