Question

為了降低能源損耗，三明市某室內(nèi)體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

40

kx+5

（0≤x≤10），已知隔熱層厚度為1cm時(shí)，每年能源消耗費(fèi)用為5萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由每年的能源消耗費(fèi)用為C（x），當(dāng)x=1時(shí)，可得k的值；又加裝隔熱層的費(fèi)用為C₁（x），所以總費(fèi)用函數(shù)f（x）可表示出來(lái)，其定義域可得；
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f（x）變形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）x=1時(shí)，c=5，∴k=3，
∴C（x）=

40

3x+5

，
∴f（x）=6z+

20×40

3x+5

=6x+

800

3x+5

（0≤x≤10）；
（Ⅱ）設(shè)3x+5=t，t∈[5，35]，則y=2t+

800

t

-10≥2

2t• 800 t

-10=70，
當(dāng)且僅當(dāng)2t=

800

t

，即t=20時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=5，f（x）的最小值為70，
∴當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，在利用平均值不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件是什么．