Question

已知函數(shù)f(x)=2cos

x

2

(cos

x

2

+asin

x

2

)（a∈R），且f(x)≤|f(

π

3

)|對(duì)x∈R恒成立．則a=

 

．

Answer 1

分析：f（x）解析式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）≤|f（

π

3

）|對(duì)x∈R恒成立，根據(jù)正弦函數(shù)的值域列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：f（x）=2cos²

x

2

+2asin

x

2

cos

x

2

=cosx+1+asinx=

a2+1

sin（x+α）+1（其中sinα=

1

a2+1

，cosα=

a

a2+1

），
∵f（

π

3

）=cos

π

3

+1+asin

π

3

=

1

2

+1+

3

2

a=

3+ 3 a

2

，f（x）≤|f（

π

3

）|對(duì)x∈R恒成立，
∴

a2+1

+1=|

3+ 3 a

2

|，
兩邊平方得：a²+1=

( 3 a+1)2

4

，即a²-2

3

a+3=0，
變形得：（a-

3

）²=0，
解得：a=

3

．
故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，樹(shù)林里掌握公式是解本題的關(guān)鍵．