Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，滿足對任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2）
• B． [$\frac{13}{4}$，2）
• C． [$\frac{13}{8}$，2）
• D． （-∞，$\frac{13}{8}$]

Answer 1

分析 由題意得到函數(shù)是一個減函數(shù)，由此列不等式組a-2＜0且（$\frac{1}{2}$）²-1≥2（a-2），求解不等式組得答案

解答 解：∵對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴函數(shù)是一個減函數(shù)，
由于函數(shù)f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{2（a-2）≤（\frac{1}{2}）^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a≤\frac{13}{8}}\end{array}\right.$，所以a$≤\frac{13}{8}$；
故選：D

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了不等式組的解法，是中檔題