Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BB₁和DD₁中點(diǎn)．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）試在棱DC上求一點(diǎn)M，使D₁M⊥平面ADE
（3）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明四邊形DFB₁E為平行四邊形，再利用AD∥B₁C₁，這樣，面平面B₁FC內(nèi)有2條相交線B₁C₁和B₁F平行于另一個(gè)平面．
（2）取DC中點(diǎn)M，證明D₁M⊥B₁C₁，D₁M⊥FC₁，從而D₁M⊥平面B₁FC₁，再根據(jù)平面B₁FC₁∥平面ADE，證得D₁M⊥平面ADE．
（3）以D為原點(diǎn)，端點(diǎn)在D的三條棱為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，設(shè)出平面A₁DE的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的垂直關(guān)系求出平面的法向量，另一個(gè)平面的法向量是存在于圖形中，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角的余弦值做出結(jié)果．
解答：解：（1）證明：∵E、F分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點(diǎn)．
∴DF∥B₁E且DF=B₁E
∴四邊形DFB₁E為平行四邊形，
即FB₁∥DE，
由∵AD∥B₁C₁（2分）
又AD∩DE=D，B₁C₁∩B₁F=B₁
∴平面B₁FC∥平面ADE．（4分）
（2）證明：取DC中點(diǎn)M，連接D₁M，
由正方體性質(zhì)可知，D₁M⊥B₁C₁，
且△DD₁M≌△C₁D₁F  （5分）所以∠D₁C₁F=∠DD₁M，
又∠D₁C₁F+∠D₁FC₁=90
所以∠D₁D₁M+∠D₁FC₁=90
所以D₁M⊥FC₁（6分
又FC₁∩B₁C₁=C₁
∴D₁M⊥平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁∥平面ADE．
所以D₁M⊥平面ADE．（8分）
（3）以D為原點(diǎn)，端點(diǎn)在D的三條棱為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，
得到，，
設(shè)平面A₁DE的法向量是，
則有2p+2r=0，
2p+2q+r=0，
令p=1，得r=-1，q=-，
∴
由（2）知平面ADE的法向量是（0，1，-2）
∴二面角的余弦值是
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面與平面的夾角，向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面的夾角及垂直、平行問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵．