Question

已知定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（2）=1，若f（x+a）≤1對x∈[-1，1]恒成立，則實數a的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先利用f（x）是R上的偶函數，且f（2）=1，得到f（2）=f（-2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函數，f（x+a）≤1對x∈[-1，1]恒成立，導出-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函數，且f（2）=1，
∴f（2）=f（-2）=1；
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數，f（x+a）≤1對x∈[-1，1]恒成立，
∴-2≤x+a≤2，
即-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，
∴-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]．

點評：本題考查函數恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的奇偶性、單調性的靈活運用．