Question

14．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{3π}{2}）+\sqrt{3}$sin（π-2x）
（1）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的取值范圍；
（2）求函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}$f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出$x∈[0，\frac{π}{2}]$時f（x）的取值范圍即可；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，求出x的取值范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{3π}{2}）+\sqrt{3}$sin（π-2x）
=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
故$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
$0≤2sin（2x+\frac{π}{6}）+1≤3$，
所以f（x）的取值范圍是[0，3]；
（2）由題意有$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x+\frac{π}{6}）+1＞0}\\{\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{6}+2kπ＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}+2kπ，k∈Z}\\{\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
即$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z，
所以$\frac{π}{6}$+kπ≤x＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
所以函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}f（x）$的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ），k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．