Question

已知函數在（0，+∞）上的最小值是（n∈N_+））．

（1）．求數列｛｝的通項公式．

（2）．證明：<．

（3）．在點列…….中是否存在兩點A_i ,A_j 其中i, j∈N₊ ．，使直線A_iA_j的斜率為1，若存在，求出所有數對i, j ．，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）．由f (x)=2n－x，得 =……………1分．

令 =0，得x=……………………2分．

當x∈(0 , )．時， <0．當x∈ (,+∞)時， >0．

∴f (x )在0，+∞．上有極小值f ( ) =．

∴數列｛an｝的通項公式an=…………………………………5分．

（2）．∵………………………6分．．

∴=

………………8分．

（3）．依題意，設Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是點列中的任意兩點，則經過這兩點的直線的斜率是：k=

……………………9分．

=1……………………11分．

∴不存在這樣的點列，使直線AiAj的斜率為1……………………12分．．