Question

棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M，N分別在線段AB₁，BC₁上，且AM=BN，給出以下結(jié)論：其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�
①AA₁⊥MN       
②異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°
③四面體B₁-D₁CA的體積為

1

3

④A₁C⊥AB₁，A₁C⊥BC₁．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)正方體的性質(zhì)和線面平行、性質(zhì)的性質(zhì)，可證出AA₁⊥MN，得到①正確；根據(jù)異面直線所成角的定義與正方體的性質(zhì)可得異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，得到②正確；根據(jù)正方體、錐體的體積公式加以計(jì)算，可得
四面體B₁-D₁CA的體積為

1

3

，得到③正確；利用線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可證出A₁C⊥AB₁且A₁C⊥BC₁，得到④正確．即可得到本題答案．

解答：解：對(duì)于①，分別作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E、F，連結(jié)EF
由AM=BN利用正方體的性質(zhì)，可得四邊形MNEF為平行四邊形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥MN，因此可得①正確；
對(duì)于②，連結(jié)B₁D₁、AD₁，可得∠B₁AD₁就是異面直線AB₁，BC₁所成的角
∵△B₁AD₁是等邊三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，得到②正確；
對(duì)于③，四面體B₁-D₁CA的體積為
V=VABCD-A1B 1C1D1-4VB1-ABC=1-4×

1

6

=

1

3

，得到③正確；
對(duì)于④，根據(jù)A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，得到A₁B₁⊥BC₁，
由正方形BB₁C₁C中證出B₁C⊥BC₁，所以BC₁⊥平面A₁B₁C，
結(jié)合A₁C?平面A₁B₁C，得A₁C⊥BC₁，同理可證出A₁C⊥AB₁，從而得到④正確
綜上所述，四個(gè)命題都是真命題
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體中的幾個(gè)結(jié)論，判斷其正確與否，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直與平行的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．