若關(guān)于x的方程
1
2
x2=ln(x2+1)+k有四個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�
分析：由題意可得當(dāng)x＞0時，f（x）=
1
2
x2 和 g（x）=ln（x2+1）+k 的圖象有2個交點，當(dāng)k=0時，滿足條件；當(dāng)f（x） 和
g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此時，k=
1
2
-ln2，綜上可得，實數(shù)k的
取值范圍．
解答：解：∵關(guān)于x的方程
1
2
x2=ln(x2+1)+k有四個不相等的實根，
∴偶函數(shù)f（x）=
1
2
x2 和偶函數(shù) g（x）=ln（x2+1）+k 的圖象有4個交點，
故當(dāng)x＞0時，f（x）=
1
2
x2 和 g（x）=ln（x2+1）+k 的圖象有2個交點，
由于函數(shù)g（x） 的圖象經(jīng)過定點（0，k），f（x）的圖象過點（0，0），再由對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性特點可得，
當(dāng)k=0時，f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上有3個交點．
當(dāng)f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得 x=
2x
x2+1
，x=1，此時，k=
1
2
-ln2．
綜上可得，實數(shù)k的取值范圍是 (
1
2
-ln2 ， 0)，
故選D．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個結(jié)論：
（1）函數(shù)f(x)=
x-1
2x+1
的對稱中心是(-
1
2
，-
1
2
)；
（2）若關(guān)于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時，
b
a-1
的取值范圍為(-∞，-
1
3
)∪(
2
3
，+∞)；
其中正確的結(jié)論是：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下五個結(jié)論：
（1）函數(shù)f(x)=
x-1
2x+1
的對稱中心是(-
1
2
，-
1
2
)；
（2）若關(guān)于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時，
b
a-1
的取值范圍為(-∞，-
1
3
)∪(
2
3
，+∞)；
（4）若將函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
3
)的圖象向右平移?（?＞0）個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則?的最小值是
5π
12
；
（5）已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，若m⊥α，n∥β且m⊥n，則α⊥β；其中正確的結(jié)論是：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
12
x2-lnx，g（x）=2x3-9x2+12x-3．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程g（x）=k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
2x+12x+1-a
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程k•f（x）=2x在（0，1]上有解，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆浙江瑞安瑞祥高級中學(xué)高二下學(xué)期期中考試文數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－12x＋5，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；

 

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