Question

已知△ABC的三條邊分別為a，b，c試?yán)�用函�?shù)f（x）=

x

1+x

，x∈（1，+∞）的單調(diào)性證明

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=

x

1+x

，x∈（1，+∞）為增函數(shù)，結(jié)合a+b＞c＞0知f（a+b）＞f（c），由此證得要證的不等式成立．

解答： 證明：設(shè)f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，
設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₂＞x₁≥0，
由于f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
因?yàn)閤₂＞x₁≥0，所以f（x₁）＜f（x₂），所以f(x)=

x

1+x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
由a+b＞c＞0知f（a+b）＞f（c），
即

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．