Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-alnx，
（Ⅰ） 若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，1是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)得到f′(x)=2x-

a

x

+b，由，f（1）=1+b=0，得到a與b的值，繼而求出函數(shù)的解析式，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，問題轉(zhuǎn)化為在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）＜0有解即可，亦即只需存在x₀∈（1，e）使得x²-x-alnx＜0即可，連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù)，然后分別對1-a≥0，1-a＜0，看是否存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

+b，
∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=4-

a

2

+b=0．
∵1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，得f（1）=1+b=0，
由

4- a 2 +b=0 1+b=0

，
解得a=6，b=-1．
∴f（x）=x²-x-6lnx，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，則g（b）為關(guān)于b的一次函數(shù)且為增函數(shù)，
根據(jù)題意，對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立，
則在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）=-x+x²-alnx＜0，有解，
令h（x）=x²-x-alnx，只需存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜0即可，
由于h′（x）=2x-1-

a

x

，
令φ（x）=2x²-x-a，x∈（1，e），φ'（x）=4x-1＞0，
∴φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，φ（x）＞φ（1）=1-a，
①當(dāng)1-a≥0，即a≤1時(shí)，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意．
②當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，φ（1）=1-a＜0，φ（e）=2e²-e-a
若a≥2e²-e＞1，則φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合題意．
若2e²-e＞a＞1，則φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在實(shí)數(shù)m，使得φ（m）=0，
∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合題意．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，對任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答