Question

（本小題滿分12分）

已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)M在直線上，

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（ I）   ；（II）

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）結(jié)合已知中直線方程與橢圓方程聯(lián)立，和設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，然后得到關(guān)于系數(shù)a,b的關(guān)系式，然后得到橢圓的方程中比例關(guān)系，進(jìn)而研究其性質(zhì)。

（2）由上可知，橢圓中b,c關(guān)系，然后利用對(duì)稱性，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，借助于坐標(biāo)關(guān)系式得到橢圓的方程。

解：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（ I） 由  得： 

     …………2分

由知是的中點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為       ………………………4分

又點(diǎn)在直線上：  

  

                    …………………6分

（II）由（1）知，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)   關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為，

則有   解得：       ……………10分

由已知，  ，  .     ………11分

        所求的橢圓的方程為       ……………12分