Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）記數(shù)列{3n-2a_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

⇒

an+1

n+1

=

an

n

+

1

3n

，然后利用累加法可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數(shù)列{3n-2a_n}的通項公式，然后利用錯位相減法求出數(shù)列{3n-2a_n}的前n項S_n即可．

解答：解：（1）an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

⇒

an+1

n+1

=

an

n

+

1

3n

∴

a2

2

-

a1

1

=

1

31

，

a3

3

-

a2

2

=

1

32

，…

an

n

-

an-1

n-1

=

1

3n-1

由累加法可得an=

3

2

n-

n

2

•(

1

3

)n-1
（2）3n-2an=n•(

1

3

)n-1而數(shù)列{3n-2a_n}的前n項和為S_n，
S_n=1+2(

1

3

)1+3(

1

3

)2+…n(

1

3

)n-1

1

3

S_n=

1

3

+2(

1

3

)2+…（n-1）(

1

3

)n-1+n(

1

3

)n

2

3

S_n=1+

1

3

+(

1

3

)2+…(

1

3

)n-1-(

1

3

)n
由錯位相減法，易得Sn=

9

4

-(

9

4

+

3

2

n)•(

1

3

)n＜

9

4

點評：本題主要考查了利用累加法求數(shù)列通項，以及利用錯位相消法求數(shù)列的和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．