Question

 設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，）作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)。

    （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

    （2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由得，

    當(dāng)得，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，），

    法一：，與拋物線聯(lián)立，

    △＝0，解得；

    法二：由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），

    根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)，∴即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

    （2）∵過(guò)A作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，

∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，

同理，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個(gè)。

若以∠APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和（，0），，

    關(guān)于的二次方程有一大于等于1的解，∴有兩解，

    即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)，

    因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得△ABP為直角三角形。