Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且，證明：對一切正整數(shù)n，都有：．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵（n∈N^*），且a₁=1，
∴，，∴a₂=4，
，，∴a₃=12；
（Ⅱ）解：由①，
得，（n∈N^*，n≥2）②，
①-②得：，即，
檢驗知a₁=1，a₂=4滿足．
∴．
變形可得．
∵，
∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴，
則；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，代入
得b_n=，
∵＞0，
∴（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹
又∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2，
∴2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
則
∴
∴
∴
即
∴
∴．
分析：（Ⅰ）在給出的遞推式中，分別取n=1，2，把a₁=1代入即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）根據(jù)給出的遞推式，取n=n-1可得另一遞推式，兩式作差后可得，把此等式兩邊同時除以2ⁿ，得到新數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，寫出其通項公式，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n代入，整理后得b_n=，把該式放大縮小后利用等比數(shù)列的求和公式可證明．
點評：本題考查了由遞推式確定等比關(guān)系，考查了等比數(shù)列的前n項和公式，考查了利用放縮法證明不等式，解答此題的關(guān)鍵是不等式的證明，對數(shù)列{b_n}通項的放縮體現(xiàn)了學(xué)生觀察問題和分析問題的能力，此題是有一定難度題目．