Question

已知點A，B是雙曲線上的兩點，O為原點，若，則點O到直線AB的距離為________．

Answer 1

分析：利用向量的垂直與坐標的關系、點到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問題的解題模式即可得出．
解答：設直線AB的方程為my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵my₁=x₁+t，my₂=x₂+t，∴x₁x₂=（my₁-t）（my₂-t）=，
∴．（*）
聯(lián)立，消去x得到關于y的一元二次方程：2（my-t）²-y²=2，
化為（2m²-1）y²-4mty+2t²-2=0（2m²-1≠0）．
∵直線BA與此雙曲線有兩個不同的交點，∴△＞0．
由根與系數(shù)的關系得y₁+y₂=，y₁y₂=，代入（*）得-，
化為t²=2（m²+1）．
∴點O到直線AB的距離d==．
故答案為．
點評：熟練掌握向量的垂直與坐標的關系、點到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問題的解題模式是解題的關鍵．