直線l過x軸上的點M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）若M的坐標為（2，0），當OA⊥OB時，求直線l的方程；
（2）若M的坐標為（1，0），設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說明理由．
（1）k不存在時，顯然不成立；
令直線l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2+2y2=8
y=k(x-2)
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0，
∴x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8(k2-1)
1+2k2
，
由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，
韋達定理代入，得（1+k2）•
8(k2-1)
1+2k2
-2k2•
8k2
1+2k2
+4k2=0，
∴k=±
2
，
∴直線l：y=±
2
(x-2)；
（2）令AB中點（x0，y0），由A（x1，y1），B（x2，y2），得
x21
8
+
y21
4
=1，(1)
x22
8
+
y22
4
=1，(2)

（1）-（2），得
(x1-x2)(x1+x2)
2
+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴
x0
2
+kAB•y0=0，即
x0
2
-
1
k
•y0=0①
又因為AB中點（x0，y0）在直線l上，所以y0=k（x0-2）②
由①②得x0=2，y0=k，
∵中點（x0，y0）在橢圓內(nèi)，
∴
x20
8
+
y20
4
＜1，即-
2
＜k＜
2
，且k≠0．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點到直線2x+y+4=0的最短距離是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；
（2）過點F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點A、B，記線段AB的中點為P，試求點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C內(nèi)一點M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點．對給定的m值，若存在直線l及直線母x=-2上的點N，使得△PNQ的垂心恰為點F，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1，F(xiàn)是右焦點，若直線L過F與橢圓相交于A，B兩點，且
AF
=2
FB
，則直線L的方程為：______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1兩焦點分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足
PF1
•
PF2
=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)P為拋物線y=x2上一點，當P點到直線x-y+2=0的距離最小時，P點的坐標為______．

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同步練習冊答案