Question

6．甲箱子里裝有3個(gè)白球m個(gè)黑球，乙箱子里裝有m個(gè)白球，2個(gè)黑球，在一次試驗(yàn)中，分別從這兩個(gè)箱子里摸出一個(gè)球，若它們都是白球，則獲獎(jiǎng)
（1）當(dāng)獲獎(jiǎng)概率最大時(shí)，求m的值；
（2）在（1）的條件下，班長用上述摸獎(jiǎng)方法決定參加游戲的人數(shù)，班長有4次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（有放回摸取），當(dāng)班長中獎(jiǎng)時(shí)已試驗(yàn)次數(shù)ξ即為參加游戲人數(shù)，如4次均未中獎(jiǎng)，則ξ=0，求ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出獲獎(jiǎng)概率，由此能求出獲獎(jiǎng)概率最大時(shí)，m的值．
（2）由已知得ξ的取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵甲箱子里裝有3個(gè)白球m個(gè)黑球，乙箱子里裝有m個(gè)白球，2個(gè)黑球，
在一次試驗(yàn)中，分別從這兩個(gè)箱子里摸出一個(gè)球，若它們都是白球，則獲獎(jiǎng)，
∴獲獎(jiǎng)概率$p=\frac{3}{m+3}•\frac{m}{m+2}=\frac{3}{{m+\frac{6}{m}+5}}，m=2$或3時(shí)，${P_{max}}=\frac{3}{10}$．（4分）
（2）由已知得ξ的取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{10}$）⁴=$\frac{2401}{10000}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{100}$，
P（ξ=3）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{147}{1000}$，
P（ξ=4）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{1029}{10000}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	0
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{147}{1000}$	$\frac{1029}{10000}$	$\frac{2401}{10000}$

$Eξ=\frac{3000+2100×2+1470×3+1029×4}{10000}=\frac{15726}{10000}=1.5726$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．