Question

（2012•湖北模擬）某地興建一休閑商業(yè)廣場，欲在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個矩形的商業(yè)樓區(qū)，余下作為休閑區(qū)域，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2AO=4km，曲線段OC是以O(shè)為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大？

Answer 1

分析：以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，從而可求拋物線C方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出用地面積，利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得用地面積最大．

解答：解：如圖，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則C（2，4）
設(shè)拋物線方程為 x²=2py，代入點C（2，4）得p=

1

2

，
所以拋物線C方程為y=x²（0≤x≤2）
設(shè)P（x，x²），|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
S=|PQ|×|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x（6分）
由S'=-3x²-4x+4=0，得x1=

2

3

或x₂=-2
因為0≤x＜2，所以x=

2

3

當(dāng)x∈[0，

2

3

)時，S'＞0，S是x的增函數(shù)
當(dāng)x∈[

2

3

，2)時，S'＜0，S是x的減函數(shù)
所以，當(dāng)x=

2

3

時，S取得最大值                            （10分）
此時，|PQ|=2+

2

3

=

8

3

，|PN|=4-(

2

3

)2=

32

9

故把商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長為

32

9

km，寬為

8

3

km的矩形時，用地面積可最大（13分）

點評：本題考查拋物線的運用，考查面積的最值，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，正確表示出用地面積．