Question

已知A、B、C三點(diǎn)同在直線l上，點(diǎn)O不在l上，且

OA

=（1+xlnx）

OB

-（mx²-f（x））

OC

，又函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為x₁，極小值點(diǎn)為x₂，則（　�。�

• A、0＜m＜

  1

  2

  ，x₂＜1＜x₁
• B、0＜m＜1，x₁＜1＜x₂
• C、0＜m＜1，x₂＜1＜x₁
• D、0＜m＜

  1

  2

  ，x₁＜1＜x₂

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由題意根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得1+xlnx-（mx²-f（x））=1，即 f（x）=mx²-xlnx．根據(jù)f′（x）=0有2個(gè)解可得直線y=2mx 和函數(shù)y=lnx+1的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，求得直線y=2mx 和函數(shù)y=lnx+1的圖象相切時(shí)的m值，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍以及x₁ 和x₂的關(guān)系．

解答： 解：由題意根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得
1+xlnx-（mx²-f（x））=1，
即 f（x）=mx²-xlnx．
故有f′（x）=2mx-lnx-1，且f′（x）=0有2個(gè)解．
故直線y=2mx 和函數(shù)y=lnx+1的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線y=2mx 和函數(shù)y=lnx+1的圖象相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為（k，2mk），
則有2mk=lnk+1，且 2m=

1

k

．
求得 k=1，m=

1

2

，故當(dāng)直線y=2mx
和函數(shù)y=lnx+1的圖象有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
有0＜2m＜1，即0＜m＜

1

2

．
而由題意可得，x₁ 和x₂是直線y=2mx 和函數(shù)y=lnx+1的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
故有0＜x₁＜1，x₂＞1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．