Question

給出下列四個(gè)結(jié)論：
①由曲線(xiàn)y=x²、y=1圍成的區(qū)域的面積為

1

3

； 
②“x=2”是“向量

a

=（x-1，1）與向量

b

=（3，x+1）平行”的充分非必要條件； 
③命題“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b都不是有理數(shù)”；
④函數(shù)f（θ）=sin²θ+

4

sin2θ

的最小值等于4．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由圖可知，可運(yùn)用定積分先求出曲線(xiàn)與x=-1和y軸圍成的區(qū)域的面積S，再用矩形的面積減去2S，即得所求的面積；②由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，求出x，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷；③由命題的否定判斷，注意“都是”的否定是“不都是”；④先應(yīng)用基本不等式求，注意等號(hào)成立的條件，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性即可求出最小值．

解答： 解：①由曲線(xiàn)y=x²、y=1圍成的區(qū)域的面積，可先求出曲線(xiàn)與x軸以及x=-1、y軸
圍成的區(qū)域的面積

∫

0 -1

x²dx=

1

3

x³|

0 -1

=

1

3

，則曲線(xiàn)y=x²、y=1圍成的區(qū)域的面積為1×2-2×

1

3

=

4

3

，故①錯(cuò)；
②由向量

a

=（x-1，1）與向量

b

=（3，x+1）平行得，（x-1）（x+1）=3，即x=±2，所以“x=2”是“向量

a

=（x-1，1）與向量

b

=（3，x+1）平行”的充分非必要條件，故②正確；
③命題“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b不都是有理數(shù)”，故③錯(cuò)；
④函數(shù)f（θ）=sin²θ+

4

sin2θ

，0＜sin²θ≤1，如果運(yùn)用基本不等式則sin²θ=2不成立，故最小值不等于4，
令t=sin²θ，則f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），由于f′（t）=1-

4

t2

＜0，即（0，1]為減區(qū)間，故最小值為1+4=5，故④錯(cuò)．
故正確個(gè)數(shù)為1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分必要條件的判斷和命題的否定，注意與否命題的區(qū)別，同時(shí)考查定積分運(yùn)用求不規(guī)則圖象的面積，以及應(yīng)用基本不等式求最值的注意點(diǎn)，是一道易錯(cuò)題．